اعداد اول

پیچیده گی های اعداد اول

در150 سال اخیر یا بیشتر نظریه اعداد پیشرفتهای زیادی در

جهات مختلف داشته.شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد

بررسی شده اند در اینجا ممکن نیست.این مبحث بسیار وسیع

است و در بعضی قسمتها نیاز به دانستن مطالب عمیقی از

ریاضیات پیشرفته (مثل نظریه گالوا و آنالیز در سطح بالا )

دارد. با اینحال مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارد که به

آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط میشوند .

در نوشته ی قبلی اعداد کوچکتر از 500 ذکر شده اند .در 1914

ریاضیدان آمریکایی دی.ان.لمر با منتشر کردن جدول همه اعداد 

اول کوچکتر از 10 میلیون متوجه شد که فقط 664579 تا عدد

اول وجود دارد یعنی حدود6.5 درصد.همچنین دی اچ لمر(پسر

دی.ان.لمر) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 میلیارد را حساب

کرد 455052512.حدوداً 4.5 درصد .

بررسی دقیق اعداد اول نشان می دهد که توزیع بسیار نامنظمی 

دارند . به آسانی ثابت میشود که شکافهای به اندازه ی دلخواه 

بین آنها وجود دارد. بررسی این اعداد نشان میدهد که اعداد اول

متوالی ، نظیر 3و5 یا 101و103 همین طور تکرار میشوند

جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 است اعداد اول دو قلو

نامیده میشوند بیش از 1000 جفت از این جفتها زیر 100000  

بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارند این مسئله که

آیا بینهایت تا از این اعداد وجود دارد یا نه هنوز حل نشده است

 

 

 

500 عدد اول

سلام  این اعدادی که میبینید ۵۰۰ تا عدد اول هستش. همینطور که میدونید اعداد اول خیلی پیچیده هستند مثلا شکافهایی به اندازه دلخواه در آنها وجود دارد

من خودم عاشق اعداد اولم هستم بعدا بازم در این مورد می نویسم منتظر باشید

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211,223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449,457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571,577,587,593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677,683,691, 701, 709,719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853,857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953,967, 971, 977, 983,991,997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097,1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217,1223,1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319,1321,1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451,1453,1459,1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571,1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693,1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811,1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949,1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017,2027, 2029, 2039, 2053, 2063,2069,2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137,2141, 2143, 2153, 2161, 2179,2203,2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269,2273,2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311,2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377,2381,2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417,2423,2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557,2579,2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689,2693,2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797,2801,2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917,2927,2939,2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079,3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217,3221,3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343,3347,3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469,3491,3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571.

+ نوشته شده در  جمعه هجدهم فروردین 1385ساعت 18:8  توسط محسن  |  آرشیو نظرات

	چهل و سومین عدد اول مرسن کشف شد.
چهل و سومین عدد اول مرسن کشف شد. در15 دسامبر 2005،بزرگترین عدد اول مرسنی که تا کنون شناخته شده است،کشف گردید. این عدد تقریبا نه میلیون و 150هزار رقمی که به صورت 1-230402457    می باشد و توسط تیمی از دانشگاه میسوری مرکزی ،کشف گردید. شرکت Frontier foundations  ، برای کشف عدد اول مرسنی که بیش از 10 میلیون رقم داشته باشد،  جایزه ای 100000 دلاری تعیین کرده است با این حال این جایزه هنوز دور از دسترس مانده است .

	عدد تام
به عددی طبیعی تام میگویند هر گاه مجموع مقسوم علیه های آن برابر دو برابر آن عدد باشند مثلا ۶ تام است   البته می توان ثابت کرد که اگر عددی تام باشد آنگاه مجموع معکوسهای مقسوم علیه های آن عدد برابر ۲ باشد (خیلی ساده هستش خودتون ثابت کنید)

گروه سه نفر ریاضی دانان هندی برای غلبه بر مشکل به هر دری زدند و با بررسی مقالات مختلف بالاخره دریافتند که در سال ‪ ۱۹۸۵‬یک ریاضی‌دان فرانسوی به نام اتن فووری از دانشگاه پاریس ‪ ۱۱‬این نکته را به صورت ریاضی اثبات کرده است. به این ترتیب آخرین بخش معما حل شد و آلگوریتم پیشنهادی این سه نفر با موفقیت پا به عرصه گذارد. اما این موفقیت "مشروط" بود. به این معنی که این روش برای اعداد اولی که انسان در حال حاضر می‌توان به سراغ آنها برود از کارآیی چندانی برخوردار نیست. در روایت اولیه روش پیشنهادی، زمان لازم برای محاسبات که متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲‬ازدیاد پیدا می کرد. در روایتهای بهبود یافته اخیر این روش، سرعت ازدیاد زمان لازم برای محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵‬کاهش یافته اما حتی در این حالت نیز این روش در مقایسه با روش آ پی آر تنها در هنگامی موثر تر خواهد بود که تعداد ارقام عدد اولی که قصد شکار و یافتن آن را داریم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰‬باشد. اعدادی تا این اندازه بزرگ در حافظه هیچ کامپیوتر جای نمی‌گیرند و حتی آن را نمی‌توان در کل کیهان جای داد. اما حال که ریاضی دانان توانسته‌اند یک طبقه خاص از آلگوریتمهای توانی را برای شناسایی اعداد اول مشخص کنند، این امکان پدید آمده که به دنبال نمونه‌های بهتر این روش بگردند. پومرانس و هندریک لنسترا از دانشگاه کالیفرنیا در برکلی با تلاش در همین زمینه توانسته‌اند زمان لازم برای محاسبات را از توان ‪ ۷.۵‬به توان ‪ ۶‬کاهش دهند. این دو از همان استراتژی کلی گروه هندی موسسه کانپور استفاده کردند اما تاکتیهای دیگری را به کار گرفتند. اگر فرضیه‌های دیگری که درباره اعداد اول مطرح شده درست از کار درآید آنگاه می‌توان زمان محاسبه را از توان ‪ ۶‬به توان ‪ ۳‬تقلیل داد که در این حد این روش کارآیی عملی پیدا خواهد کرد. در این حالت یافتن اعداد اول با ‪ ۱۰۰۰‬رقم یا بیشتر به بازی کودکان بدل خواهد شد. اما در نظر ریاضی‌دانان مهمترین و جالبترین جنبه کار گروه سه نفره آ ک اس (کانپ.ر) روشی است که آنان به کار گرفته‌اند. اعداد اول برای ریاضیات از اهمیت بنیادین برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ویژگیهای آنها باعث می‌شود خللهای بزرگ در بنای ریاضیات پدیدار شود. روش این سه ریاضی دان هندی هرچند این خللها و نقصها را پر نکرده حداقل به ریاضی دانان گفته است که در کجا به دنبال این خللها بگردند. آلگوریتم پیشنهادی این سه محقق و همه انواع بدیلی که بر اساس آن ساخته شده متکی به وجود اعداد اولی با مشخصه های ویژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از این روش مستلزم آن است که ریاضی دانان اطلاعات دقیقی از نحوه توزیع این قبیل اعداد اول خاص در میان دیگر اعداد به دست آورند و به این ترتیب جغرافیای مکانی اعداد اول را مشخص سازند. روش پیشنهادی آ ک اس به ریاضی دانان این نکته را آموخته که ویژگیهای این جغرافیای مکانی حائز اهمیت است و نیز این که هنوز دانش کافی در این زمینه به دست نیامده است. در گذشته و در زمانی که نظریه اعداد تنها مورد توجه یک گروه کوچک از ریاضی دانان بود ، این مساله چندان اهمیتی نداشت. اما در ‪ ۲۰‬سال گذشته اعداد اول موقعیتی استثنایی در عرصه رمز نگاری و دانش طراحی و شکستن رمزها کسب کرده اند. رمزها صرفا از نظر نظامی و جاسوسی حائز اهمیت نیستند بلکه از آنها در عرصه های تجاری و نیز فعالییتهای اینترنتی در مقیاس وسیع استفاده به عمل می‌آید. هیچ کس نمی‌خواهد که راهزنان اینترنتی به اطلاعات شخصی مربوط به حسابهای بانکی یا شماره کارتهای اعتباری آنان دست یابد. هم اکنون دزدی مشخصات شناسنامه ای افراد و جعل هویت آنان به صورت یکی از بزرگترین قلمروهای فعالییتهای تبهکارانه در سطح بین‌المللی در آمده است. سازندگان کامپیوترها و ارائه‌دهندگان خدمات اینترنتی با توجه به آنکه در حال حاضر افراد بسیاری از فعالیتهای خود را از طریق اینترنت انجام می دهند، نظیر اینکه پول قبضهای برق و آب و تلفن خود را می‌پردازند یا در کلاسهای مورد نظر ثبت نام می‌کنند، یا بلیت هواپیما و قطار رزرو می‌کنند، در تلاشند تا از خطر دستیابی تبهکاران به اطلاعات شخصی افراد جلوگیری به عمل اورند. یکی از مهمترین سیستمهایی که در این زمینه مورد استفاده صنایع است سیستم آر اس آ نام دارد که متکی به اعداد اول است. اعداد اول مورد استفاده در این سیستم در حدود ‪ ۱۰۰‬رقمی هستند. سیستم آر اس آ در بسیاری از سیستمهای کامپیوتری مورد استفاده قرار دارد و در پروتکل اصلی برای ارتباطات امن اینرتنتی نیز گنجانده شده است و بسیاری از دولتها، شرکتهای بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده می‌کنند. جواز استفاده از این سیستم برای بیش از ‪ ۷۰۰‬شرکت صادر شده و بیش از نیم میلیون کپی از آن در سطح جهانی مورد استفاده قرار دارد. برای شکستن رمز آر اس آ باید مضراب اعداد ‪ ۲۰۰‬رقمی یا بزرگتر را پیدا کنید. هرچند فاکتور گیری یا عامل مشترک گیری از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما این دو مساله با یکدیگر ارتباط دارند و ریاضی دانان از یک ابزار برای حل هر دو مساله استفاده می‌کنند. همه این جنبه‌ها بر اهمیت کشف هر روشی برای محاسبه اعداد اول می‌افزاید. در سال ‪ ۱۹۹۵‬زمانی که پیتر شور از آزمایشگاههای بل اثبات کرد که مجموعه- ای از آلگوریتمهای توانی برای فاکتور گیری وجود دارد، لرزه بر اندام بسیاری افتاد. اما خوشبختانه برای استفاده از این آلگوریتم به کامپیوترهای کوانتومی نیاز است که هنوز در مرحله تکمیل تئوریک قرار دارند. اکنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سیستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اکنون این نکته را نشان داده که می‌توان با کامپیوتر های معمولی، اعداد را از حیث اول بودن مورد آزمایش قرار داد. سوالی که اینک مطرح شده آن است که آیا الگوریتم مشابهی که به صورت توانی کار کند برای فاکتورگیری اعداد غیراول نیز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به این پرسش منفی است اما متاسفانه این متخصصان همین حرف را در مورد آلگوریتم توانی مربوط به اعداد اول نیز می‌زدند در حال حاضر ریاضی دانان واقعا مطمئن نیستند که که آیا چنین آلگوریتمی یافت می‌شود یا نه. اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سیستم آر اس آ دیگر از امنیت برخوردار نیست. یک عامل تخفیف‌دهنده نگرانیها آن است که از سیستم آر اس آ برای انتقال همه محتوای پیامها استفاده نمی‌شود بلکه صرفا "کلید های رمز" را که اندازه شان کوچک است با این سیستم انتقال می‌دهند. برای انتقال بقیه پیام از روشهای رمزنگاری متعارف بهره گرفته می‌شود. به این ترتیب جاسوسان در صدد برخواهند آمد که به کلید رمزها دست یابند. به این ترتیب درسی که از موفقیت گروه سه نفره هندی گرفته می‌شود آن است که باید با احتیاط در ارسال پیامها عمل کرد. اگر اکتشافات مشابه آنچه گروه کانپور بدست اورده تکرار شود، انگاه دیگر نمی‌توان به ایمن بودن ارتباطاتی که روی اینترنت برقرار می‌شود اطمینان داشت.

	ماشین ریاضی جدیدی برای رام کردن اعداد اول (‪(۲
در سال ‪ ۱۹۸۳‬روشی کشف شد که بسیار نزدیک به روشهای توانی بود. این روش که به وسیله سه ریاضی دان به نامهای لئونارد آدلمن از دانشگاه کالیفرنیای جنوبی، کارل پومرانس از آزمایشگاهای بل در موری هیل نیو جرسی، و رابرت روملی از دانشگاه جورجیا کشف شد به نام خود آنان به روش آپی آر ‪ APR‬شهرت یافت. در این روش زمان محاسبه یک عدد دارای ‪ d‬رقم برای است با ‪.(d)ln ln d‬ در این فرمول (‪ (ln ln d‬به معنای لگارتیم لگاریتم ‪ d‬است. به لحاظ فنی این روش غیر توانی است زیرا توان آن ثابت نیست و زیاد می‌شود. اما سرعت این ازدیاد بسیار بسیار کند است. یعنی به ازای ‪ d =10100‬میزان ازدیاد این توان تنها ‪ ۵.۶‬مرتبه است. ریاضی دانان به شوخی می‌گویند که ثابت شده این توان به سمت بینهایت میل می‌کند اما چنین چیزی در عمل مشاهده نشده. سوالی که برای ریاضی دانان مطرح است آن است که آیا می‌توان به روشی دست یافت که به معنای دقیق و فنی کلمه روشی توانی باشد. هیچ کس تصور نمی‌کرد که احتمال چنین موفقیتی وجود داشته باشد تا اینکه گروه آگراوال بمب خود را منفجر کرد. ایده انقلابی این سه تن در سال ‪ ۲۰۰۲‬و زمانی که کایال و سکسنا هنوز دانشجوی دوره لیسانس بودند مطرح شد. در ابتدای سال جاری یک روایت بهبود یافته از روش پیشنهادی این سه که به آلگوریتم آ.ک.اس شهرت یافته در نشریه "آنالز او متمتیکس ‪ "Annals of Mathematics‬انتشار یافت. این آلگوریتم از نوع روشهای توانی است و علاوه برآن بسیار ساده است (لااقل برای ریاضی دانان چنین است). این روش از اعقاب یک روش آزمون قدیمی موسوم به قضیه کوچک پی‌یر فرما است. این قضیه را نباید با قضیه اصلی فرما که چند سال قبل پس از ‪ ۳۰۰‬سال اثبات شد اشتباه کرد. این قضیه مبتنی بر نوعی حساب متکی به قدر مطلق ‪modular‬موسوم به "حساب ساعت ‪ "clock arithmetic‬است علت آن تست که در این روش اعداد به شکل اعداد روی صفحه ساعت جمع می‌شوند. برای آشنایی با این حساب خاص مورد زیر را در نظر بگیرید. یک عدد دلخواه انتخاب کنید و آن را قدر مطلق ‪ modulus‬بنامید. در مثال ساعت، این عدد خاص که قدر مطلق نامیده می‌شود و مبنای محاسبه قرار می‌گیرد، عدد ‪ ۱۲‬است. حال در هر نوع محاسبه ریاضی با اعداد صحیح برای تبدیل آن سیستم عددی به سیستم عددی قدر مطلق ‪ ۱۲‬کافی است بجای همه مضارب صحیح عدد ‪ ۱۲‬عدد صفر قرار داده شود. همه اعداد دیگر بر همین اساس تغییر می‌کنند. مثلا عدد ‪ ۲۵‬برابر است با ‪ . + ۲۴۱‬بنابراین عدد ‪ ۲۵‬در این سیستم قدر مطلق برابر است با "‪ ۱‬به قدر مطلق ‪ ."۱۲‬سیستمهای حساب متکی به قدر مطلق به تعریفی که ذکر شد سیستمهای زیبایی هستند زیرا در آنها همه قواعد حساب متعارف کار می‌کند و درعین حال برخی از اعداد غیرصفر درآن ناپدید می‌شوند. قضیه کوچک فرما می‌گوید اگر یک عدد اول را به عنوان قدر مطلق انتخاب کنید ، دارای یک مشخصه ویژه خواهد بود. این مشخصه عبارت از آن است که یک فرمول خاص یعنی ‪ (a)p-1‬در این سیستم همواره برابر یک خواهد بود. در این فرمول ‪ p‬عبارت است از عدد اولی که به عنوان قدر مطلق انتخاب شده و ‪a‬هر عدد دیگر است که ضریب ‪ p‬محسوب نمی‌شود. اگر مقدار فرمول بالا برابر یک نباشد آنگاه عددی که به عنوان عدد اول تصور کرده بودید یعنی ‪ p‬عدد اول نیست. به این ترتیب می‌توان از این قضیه کوچک فرما به عنوان مبنایی برای تدوین آزمونی جهت تعیین اعداد اول استفاده کرد. این آزمون کاملا بی‌نقص نیست زیرا شماری از اعداد غیر اول نیز از غربال آن رد می‌شوند. اما می‌توان روایت های پیچیده تر و دقیق تری از این آزمون را تولید کرد که بسادگی به اعداد غیر اول اجازه ورود ندهند. یک نمونه پیشرفته از این آزمونها همان روش "آ.پی.آر" است که در بالا اشاره شد. گروه آگراوال از همین قضیه کوچک فرما استفاده کرد اما آن را به نحو دیگری بسط داد. این گروه به عوض آنکه با اعداد کار کنند از چند جمله‌ای‌ها استفاده کردند. چند جمله‌ای‌ها عباراتی جبری هستند نظیر (‪ .a + b(2‬ایده استفاده از این روش محصول کوشش آگراوال در دورانی بود که بر روی رساله دکتری خود کار می‌کرد و به اتفاق استاد راهنمای خویش "سومنات بیسواس" در سال ‪ ۱۹۹۹‬مقاله- ای را به چاپ رساند که در آن یک روش آزمون اعداد اول پیشنهاد شده بود که از همین چند جمله‌ای‌ها استفاده می‌کرد و به شیوه احتمالاتی محاسبات را انجام می داد. آگراوال بر این باور بود که می‌تواند این روش پیشنهادی را دقیق‌تر و عنصر احتمالاتی آن را حذف کرد. در سال ‪ ۲۰۰۱‬دو تن از دانشجویان او یعنی کایال و سکسنا به یک نکته بسیار حساس و فنی توجه کردند. ابتدا این مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهای عمیق نظریه اعداد غوطه ور شوند، اما اندک اندک برایشان روشن شد که تنها یک مانع در راه تکمیل روشی جهت آزمودن دقیق و سریع اعداد اول وجود دارد. مانع از این قرار بود که روش آنان تنها در صورتی کار می‌کرد که عدد اول مورد نظر که با ‪ p‬نمایش داده می‌شود همواره در محدوده خاصی جای داشته باشد که با اعدادی که در آزمون شرکت داده می‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ویژه این مانع آن است که عدد " ‪ "p-1‬باید یک مقسوم علیه یا بخشیاب بسیار بزرگ باشد. ادامه دارد...

 

	ماشین ریاضی جدیدی برای رام کردن اعداد اول (‪(۱
ماشین ریاضی جدیدی برای رام کردن اعداد اول (‪(۱ اعداد اول بسیار زیبا و جذابند و در عین حال معمای حیرت انگیز و سرگردان‌کننده ای را در برابر ریاضی دانان مطرح ساخته اند: تعریف این اعداد کاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن کاملا بی‌نظم و فاقد قاعده به نظر می‌آید و هرچه شمار بیشتری از آنها شکارمی‌شوند، کار شکار بعدی‌ها دشوارتر می‌شود. طی قرنهای متمادی ریاضی دانان در شرق و غرب عالم به جستجوی راههایی برای دستیابی به اعداد اول برخاسته‌اند و با این همه بهترین روشهایی که تا بحال در این زمینه ابداع شده چنان کند است که حتی پر سرعت‌ترین کامپیوتر های کنونی نیز نمی‌توانند کمک چندانی در شکار این اعداد شگفت انگیز کنند. اعداد اول بر طبق تعریف اعدادی هستند که تنها به ‪ ۱‬و بر خودشان تقسیم پذیرند. به عنوان نمونه اعداد ‪ ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹‬اعداد اول کمتر از ‪۲۰‬ در سلسله اعداد طبیعی هستند. اما هرچه در این سلسله پیش تر برویم اعداد اول نایاب تر می‌شوند. بطوریکه اگر چندین میلیون بار به سرعت کامپیوتر های کنونی افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترین عدد اولی که تا به حال شناخته شده افزوده می‌گردد. ریاضی دانان در آرزوی دست یافته به روشی هستند که با استفاده از آن بتوانند با سرعت به یافتن اعداد اول توفیق یابند و یا اگر با عددی هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند که آیا عدد اول است ؟ - اما یافتن چنین روشی به فسفر مغز نیاز دارد و نه سرعت کامپیوتر. - اما یک گروه از ریاضی دانان هندی مدعی شده‌اند که در آستانه دستیابی به همان آزمونی هستند که ریاضی دانان قرنها مشتاقانه در آرزویش بوده اند. مانیندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawal‬و دانشجویانش نیراج کایال ‪Neeraj‬ ‪ Kayal‬و نیتین سکسنا ‪ Nitin Saxena‬در موسسه تکنولوژی کانپور مدعی شده‌اند که در آستانه تکمیل آزمونی هستند که اول بودن یا نبودن هر عدد طبیعی را با سرعت مشخص می‌کند. این آزمون در صورتی که تکمیل شود می‌تواند تبعات و نتایج بسیار گسترده‌ای برای جهان کنونی به بار آورد. درحال حاضر بسیاری از معاملات تجاری و نقل و انتقالات مالی و نیز مبادله اطلاعات محرمانه از طریق شبکه های مخابراتی مانند اینترنت و با بهره گیری از رمز کردن پیامها به انجام می‌رسد. اعداد اول در تنظیم این قبیل رمزها نقشی اساسی بر عهده دارند و از همین رو دستیابی به اعداد اول جدید که دیگران از آن بی‌خبر باشند برای سازندگان این رمزها و نیز مشتریان آنان از اهمیت زیاد برخوردار است. اما اگر روش این محققان هندی تکمیل شود در آن صورت امنیت این قبیل نقل و انتقالات در معرض خطر جدی قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن ریاضی دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پیش باز می گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱‬کارل گائوس از بزرگترین ریاضی دانان اعلام کرد که مساله تشخیص اعداد اول از اعداد غیر اول یکی از مهمترین مسائل حساب به شمار می‌آید. اعداد اول به یک معنا همان نقشی را در سلسله اعداد بازی می‌کنند که اتمها در ساختار بنای کیهان دارند- این اعداد سنگ بنای ناپیدای دیگر اعداد محسوب می‌شوند. یکی از عادی‌ترین راههای شناسایی اعداد اول تقسیم آن به دیگر اعداد است. از طرف دیگر با اندکی تامل روشن می‌شود که اعداد زوج عدد اول نیستند زیرا همگی بر ‪ ۲‬قابل قسمتند. اعدادی که بتوان جذر آنها را به دست آورد نیز اول نیستند. اما این روشها برای شناسایی اعداد اول بزرگ به کلی بی‌فایده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولی دارای ‪ ۱۰۰‬رقم باشد در آن صورت کل عمر باقیمانده از کیهان بر اساس نظریه های جدید کیهانشناسی نیز برای مشخص کردن اول بودن یا نبودن این عدد با این شیوه های متعارف کفایت نمی‌کند. بنابراین ریاضی دانان به سراغ روشهای دیگر رفته‌اند. مهمترین سوال در مورد همه این روشها آن است که با چه سرعتی می‌توانند یک عدد اول را مشخص کنند و با ازدیاد ارقام عدد اول زمان لازم برای محاسبه چه اندازه طولانی تر می شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتی از شمار ارقام عدد ازدیاد یابد در آن صورت این روش روش قابل قبولی به شمار آورده می‌شود . به این نوع روشها که زمان به صورت توانی در آنها افزوده می‌شود "روشهای توانی" می‌گویند. روشهای دیگر که زمان در آنها با سرعت بیشتری افزایش می‌یابد روشهای غیرتوانی نام دارند. به عنوان مثال روش تقسیم معمولی یک روش غیرتوانی برای یافتن اعداد اول است. در این روش زمان لازم برای تعیین اول بودن یک عدد با ‪ d‬رقم، برابر با ‪ /۱۰d/2‬این نوع روشها بسیار نامناسبند. در سال ‪ ۱۹۵۶‬منطق‌دان برجسته آلمانی کورت گودل این پرسش را مطرح ساخت که آیا می‌توان این نوع روشهای تقسیم را بهبود بخشید. تلاش خود او نهایتا به کشف شماری از روشهای عملی برای یافتن اعدادی به بزرگی ‪ ۱۰۰‬رقم یا بیشتر منجر شد. همه این روشها احتمالاتی هستند و بنابراین در مواردی پاسخ غلط به دست می‌دهند هرچند که این موارد بسیار نادرند.