لگاریتم :: وبلاگ علمی دنفر

لگاریتم

يكشنبه, ۳۰ آذر ۱۳۹۳، ۰۷:۲۱ ب.ظ

لگاریتمیک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = b^y باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت $\log_b (x) = y \,$ نمایش می‌دهیم. مانند: $\log_{10} (1000) = 3 \,.$

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

$\log_a(xy) = \log_a (x) + \log_a (y). \,$

$\log_2(32) = \log_2 (4) + \log_2 (8). \,$

مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض بویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دان میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخال‌ها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود

انگیزهٔ اولیه و تعریف[ویرایش]

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

به توان رساندن[ویرایش]

توان سوم عددی مانند b برابر است با ۳ بار ضرب b در خودش. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم

$b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}.$

در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bⁿ جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که b^-۱ برابر معکوس b است.^{[nb ۱]}

تعریف[ویرایش]

لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود.^[۲]

$b^x = y. \,$

پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد.^[۲]

$b^x = y. \,$

چند نمونه[ویرایش]

نمونهٔ یکم

برای نمونه ۴ = (۱۶) log_۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۴

نمونهٔ دوم

برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:

$\log_2 \!\left(\frac{1}{2} \right) = -1,\,$

چون

$2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.$

نمونهٔ سوم

(۱۵۰) log_۱۰ تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰^۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰^۳ همچنین در هر پایه‌ای $\log_b (b) = 1$ و $\log_b (1) = 0$ چون به ترتیب: $b^{1} = b$ و $b^{0} = 1$ است.

قوانین لگاریتم[ویرایش]

نوشتار اصلی: فهرست اتحادهای لگاریتمی

رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.

ضرب، تقسیم، توان، ریشه[ویرایش]

لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان p ام یک عدد برابر است با p برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشهٔ p ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر p. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است:

	رابطه	نمونه
ضرب	$\log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \,$	$\log_3 (243) = \log_3(9 \times 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,$
تقسیم	$\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \,$	$\log_2 (16) = \log_2 \!\left (\frac{64}{4} \right) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4$
توان	$\log_b(x^p) = p \log_b (x) \,$	$\log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,$
ریشه	$\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \,$	$\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5$

تغییر پایه[ویرایش]

می‌توان $\log_b(x)$ را به صورت غیر مستقیم با گرفتن لگاریتم x و b در یک پایهٔ دلخواه مانند k بدست آورد، به این ترتیب که:

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}. \,$

بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر ^[۳] محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند:

$\log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,$

همچنین اگر عددی مانند x و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص b داشته باشیم $\log_b (x)$ حال می‌توان مبنای نامشخص b را به ترتیب زیر محاسبه کرد:

$b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.$

پایه‌های ویژه[ویرایش]

پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:^[۴]

$\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x). \$

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقم‌های یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log_۱۰ تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود.

جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی ^[۵] داده شده‌است.(ISO ۳۱-۱۱)

پایهٔ b	نام گونهٔ لگاریتم	ISO نماد در	دیگر نمادها	کاربرد
۲	لگاریتم دودویی	lb(x)^[^۶^]	ld(x)، log(x) (در علوم رایانه)، lg(x)	علوم رایانه، نظریهٔ اطلاعات
e	لگاریتم طبیعی	ln(x)^[nb^۲^]	log(x) (در ریاضی و بسیاری از زبان‌های برنامه نویسی ^[nb^۳^])	آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمی آمار, علم اقتصاد, و بعضی از زمینه‌های مهندسی
۱۰	لگاریتم اعشاری	lg(x)	log(x) (در مهندسی، زیست شناسی، اخترشناسی),	در زمینه‌های گوناگون مهندسی (مانند دسی‌بل)، تهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی

پیشینه[ویرایش]

پیشینیان[ویرایش]

ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام ardhaccheda کار کرد. ardhaccheda یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲ⁿ را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایهٔ ۳ (trakacheda) و در پایهٔ ۴ (caturthacheda) را نیز معرفی کرد.^[۱۰]^[۱۱] مایکل استیفل در سال ۱۵۴۴ میلادی در نورنبرگ Arithmetica integra را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود.^[۱۲]^[۱۳]

از نپر تا اویلر[ویرایش]

جان نپر (۱۶۱۷-۱۵۵۰) بدست آورندهٔ روش لگاریتم‌گیری

روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد.^[۱۴] همچنین ژو بورجی (به فرانسوی: Joost Bürgi) نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.^[۱۵]

نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت $10^7 {(1-10^{-7})}^L \,$ را به ازای Lهای میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = L تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ^۵-۱۰ و ^۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد N در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد L را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند:

$N=10^7 {(1-10^{-7})}^L. \,$

نپر ابتدا نام «عدد ساختگی» را بر L نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «لگاریتم» logarithm را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ λόγος برابر logos به معنی «نسبت» است و واژهٔ ἀριθμός برابر arithmos به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد:^[۱۶]^[۱۷]

$L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left(\frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left(\frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left(\frac{N}{10^7} \right),$

با تقریب خوبی داریم:

${(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}. \,$

این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و... مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد.^[۱۸]

هذلولی y = ۱/x (منحنی قرمز) و سطح زیر آن از x = ۱ تا ۶ (قسمت نارنجی رنگ).

در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سظح زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند:

$f(tu) = f(t) + f(u). \,$

لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقالهٔ Logarithmotechnia که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد.^[۱۹] البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود.^[۲۰] در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد:

$e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,$

$\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).$

همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.^[۲۱]^[۲۲]^[۲۳]

جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته[ویرایش]

متن سال ۱۷۹۷ دانشنامهٔ بریتانیکا در بارهٔ لگاریتم.

با ساده سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه برداری، هوانوردی و... کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است:

وسیله‌ای ستودنی است که به کمک آن کار چند ماه به چند روز کاهش می‌یابد، عمر اخترشناسان را دو برابر می‌کند و از خطاهای کوچک می‌گذرد و از جمله‌های طولانی و جدانشدنی ریاضی بیزار است.

^[۲۴]

وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود.^[۲۵] چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار $\log_b(x)$ و برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع وارون $\log_b(x)$ است به آن پادلگاریتم (به انگلیسی: antilogarithm) می‌گویند.^[۲۶] لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم و یا خود جدول بدست آورد:

$c d = b^{\log_b (c)} \ b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,$

$\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,$

زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان تر از روش‌های ساده سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. روش یاد شده بر پایهٔ اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است:

$c^d = b^{d \log_b (c)} \,$

$\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,$

در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند^[۲۷] مانند نمونهٔ زیر:

$\log_{10}(3542) = \log_{10}(10 \times 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \,$

وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود.

شکل عمومی خط‌کش لغزان، در لبهٔ پایینی به لگاریتم ۲ می‌رسیم و با اضافه کردن فاصله از لبهٔ بالایی، لگاریتم ۳ به حاصل ضرب یعنی لگاریتم ۶ می‌رسیم. این خط‌کش‌ها چنان درجه بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا x ضریبی از لگاریتم x است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبهٔ بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد.

مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خطکشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خطکش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خطکش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.^[۲۱]

ویژگی‌های ریاضی[ویرایش]

مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم تابع است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند.^[۲۸] مانند تابع توان x ام عدد حقیقی b که به صورت زیر نوشته می‌شود:

$f(x) = b^x. \,$

تابع لگاریتم[ویرایش]

برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:

$b^x = y \,$

دارای راه حل و جواب یکتای x است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و b بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع $f(x) = b^x \,$ نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار $f (x_0) \,$ و $f (x_1) \,$ به ازای x_۰ و x_۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که $f(x) = y \,$ باشد. بنابراین برای معادلهٔ $y = b^x \,$ یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.^[۲۹]

جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم y در پایهٔ b است.

تابع وارون[ویرایش]

خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)

لگاریتم تابع توانی برای هر عدد x به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.$

اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو b باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود x خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود:

$b^{\log_b(y)} = y$

بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ b تابع وارون f(x) = b^x است.^[۳۰]

دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع $\log_b(x)$ اگر x به سمت مثبت بی نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b> ۱ به سمت مثبت بی نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع $\log_b(x)$ اکیداً صعودی است. به ازای b <۱ اگر x به سمت مثبت بی نهایت رود، مقدار تابع $\log_b(x)$ به سمت منفی بی نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع $\log_b(x)$ برای b> ۱ به سمت منفی بی نهایت می‌رود و برای b <۱ به سمت مثبت بی نهایت می‌رود.

مشتق و پادمشتق

خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطهٔ x = ۱٫۵ (سیاه)

ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد.^[۳۱] پس چون f(x) = b^x یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق برابر با است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق برابر است با:^[۲۹]^[۳۲]

$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.$

که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم است که برابر است با $\frac{1}{xln(b)}$ . همچنین مشتق برابر با $\frac{1}{x}$ است که به این معنی است که پادمشتق $\frac{1}{x}$ همان است. اگر بجای x حالت کلی را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:

$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$

گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند.^[۳۳] پادمشتق لگاریتم طبیعی برابر است با:^[۳۴]

$\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.$

رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.^[۳۵]

بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال $\frac{1}{x} dx$ از ۱ تا t:

$\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.$

به عبارت دیگر برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع $\frac{1}{x}$ از ۱ = x تا (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق $\ln (x)$ ، $\frac{1}{x}$ است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت.^[۳۶] برای نمونه $\ln (tu)=\ln(t)+ \ln(u)$ را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:

$\ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).$

بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد (). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع‌شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = ۱/x از ۱ تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که $\ln(tu)$ یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع $\ln(t)$ و $\ln(u)$ (سطح زرد و آبی)

اثبات نموداری رابطهٔ ضرب در لگاریتم طبیعی.

رابطهٔ توان $\ln(t^r)=r \ln(t)$ را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:

$\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).$

در تساوی دوم تغییر متغیر $w=x^{\frac {1}{r}}$ را داریم.

مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:

که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر:

به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.^[۳۷]

محاسبه

در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log_۱۰ محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی و یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند.^[۳۸]^[۳۹] همچنین برای محاسبهٔ می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از x عمل می‌کند استفاده کرد:

$\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,$

روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است.^[۴۰] در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد.^[۴۱]^[۴۲]

سری‌های توانی

سری تیلور[ویرایش]

سری تیلور. این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جملهٔ اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است.

برای هر عدد حقیقی z که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است:^{[nb ۴]}^[۴۳]

$\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots$

۴ ۰
۹۳/۰۹/۳۰

hossein heydari

وبلاگ علمی دنفر

وبلاگ علمی دنفر

ریاضیات و فیزیک ، جهانی جدا

وارد علـم شو ،
تا از مـا شوی !

مقالات علمی

دانشمندان

ریاضیات

شخصیت ها

اخبار علمی

پزشکی

نظریه ها ( تئوری ها )

کانگورو

اثبات ها

شفق قطبی

ویدئو ها

فیزیک

سخن بزرگان

جبر

هندسه

سفینه های فضایی

سفرات فضایی

الکتریسیته و مغناطیس

سیارات

لگاریتم

نظرات (۰)

ارسال نظر

وبلاگ علمی دنفر

وبلاگ علمی دنفر

ریاضیات و فیزیک ، جهانی جدا

وارد علـم شو ، تا از مـا شوی !

مقالات علمی

دانشمندان

ریاضیات

شخصیت ها

اخبار علمی

پزشکی

نظریه ها ( تئوری ها )

کانگورو

اثبات ها

شفق قطبی

ویدئو ها

فیزیک

سخن بزرگان

جبر

هندسه

سفینه های فضایی

سفرات فضایی

الکتریسیته و مغناطیس

سیارات

انرژی هسته ای

جان نش

لگاریتم

نظرات (۰)

ارسال نظر

وارد علـم شو ،
تا از مـا شوی !